프렉탈이론(fractal theory)

금세기 과학의 발달로 규칙적인 자연 현상의 이해는 크게 진보되었으나, 혼돈 및 무질서의 현상은 우리 주위에서 흔히 볼 수 있음에도 불구하고 거의 이해되지 않고, 자연의 이해에 방해가 되는 예외적이며 비정상적 성질로 소외되어 왔다. 혼돈의 예로서는 헬리콥터나 비행 기 날개 끝에서의 공기의 난류 현상, 담배 연기의 나선형 규칙 운동이 깨지며 생기는 불규 칙적 무질서 운동, 태풍 등의 기상 현상에서 보이는 비예측성, 주식 시장에서의 주식의 급격 한 등락, 그네의 주기 운동, 태양계의 행성 및 위성의 불규칙 궤도, 레이저의 불안정성을 들 수 있다. 최근 많은 과학자들의 연구에 의해 이러한 혼돈의 무한한 복잡성에도 불구하고, 그 이면에 규칙적 구조가 존재하며 이러한 구조는 다양한 자연계에서 공통적으로 관찰된다는 것이 알려지면서 많은 관심을 끌고 있다.
혼돈( Chaos )이란 한마디로 정의하기 어렵지만, 일종의 예측할 수 없는 불규칙한 무질서 운동이라고 이야기할 수 있다. 원시인들은 세상을 완전한 혼돈으로 보고 신들 중 하나를 혼 돈의 신이라고 불렀다. 그러나 세월이 흘러 하루는 24시간, 1년은 365일 등의 자연계의 규칙 적 운동을 인지하기 시작하면서, 인간은 점차 모든 자연 현상을 예측할 수 있는 질서가 있 다는 생각을 가지게 되었다. 이러한 생각은 뉴턴의 역학 법칙의 발견으로 더욱 체계화되어, 우주의 마스터 방정식을 알 면 초기 조건에 의해 우주의 무한한 미래를 예측할 수 있다는 결정론적 학설이, 라플라스( Laplace) 등에 의해 주장되기에 이르렀다. 그러나 이러한 결정론은 확률론에 바탕을 둔 양 자론 등의 세계관에 거센 도전을 받아 왔고, 이에 대해 결정론자들은 신이 주사위로 세상을 창조하지 않았다며 확률론적 세계관을 비판해 왔다. 이들 사이의 관계는 아직도 풀리지 않 는 수수께끼의 하나이다. 혼돈의 이해는 이렇듯 전혀 달라 보이는 결정론적 세계관과 확률 론적 세계관을 연결시켜, 상호 양립을 가능하게 한다. 유명한 과학자 호프스태터(D. Hopfstadter )는 질서와 혼돈의 관계에 대해서 '질서 운동의 허상 바로 뒤에는 기묘한 형태의 혼돈이 숨어 있을 수 있는데, 이 혼돈의 깊은 내면에 더욱 더 기묘한 형태의 질서가 숨어 있다'고 이야기하였다. 즉 자연계의 많은 현상에서 질서와 혼돈은 거울 양쪽의 실상과 허상처럼 분리될 수가 없다는 것인데, 혼돈의 미스터리는 바로 여기에 있다.


혼돈 현상은 다양한 계에서 일어나고 외형상 연관되어 있지 않아 보이며, 또한 너무 복잡 하고 무질서해 보인다. 그러면 과연 혼돈의 내면에는 아무런 규칙이나 질서가 없을까? 예 를 들어 기상 현상은 온도, 기압, 바람의 방향 및 속도, 강수량 등의 많은 요인을 감안해 야 하는 복잡한 시스템으로서, 그 예측이 어렵다는 것은 누구나 피부로 느끼고 있다. 기상 학자 로렌츠(E. Lorenz )는, 이 기상 현상의 비예측성이 기상 모델의 복잡성보다는 근본적 으로 기상의 혼돈성에 기인한다는 것을 발견하였다. 평평한 냄비에 물을 담아 불 위에 올려놓고 데워 보자. 불이 충분히 세어지면 더운 물이 위로 올라가고 차가운 물이 밑으로 내려오는 대류 현상이 일어난다. 이는 마치 지구 표면 을 태양열로 데울 때의 대기의 대류 현상과 같다. 이 모델을 컴퓨터로 계산하였더니 모든 조건이 같은 데도 계산할 때마다 판이하게 다른 결 과가 나왔다. 처음에는 그 이유를 컴퓨터 프로그램상의 오류로 생각했으나, 나중에 알고 보 니 기상모델이 혼돈하기 때문이며 이 혼돈의 이면에는 로렌츠 끌개라고 불리는 기이한 끌개 ( strange attractor) 가 숨어 있다는 것을 발견하였다. 어떠한 초기 조건에서 시작하더라도 오랜 시간이 지나면 기이한 끌개로 흘러간다. 따라서 이 기이한 끌개의 구조와 그 위에서의 운동을 이해하면 기상 모델을 완전히 이해할 수 있 다. 그러나 이 끌개는 매우 기묘한 기하학적 구조를 가지고 있다. 마치 밀가루 반죽처럼 덩 어리를 늘려 얇게 펴서 다시 접는 과정을 반복하여 반죽을 고루 섞는 것과 같은 과정에 의 해 만들어진다.


이 끌개 상에서의 섞는 과정에서 끊임없는 팽창과 접힘 현상의 반복으로 작은 초기조건의 오차가 기하학적으로 증폭되어, 계의 상태에 대한 예측성을 잃어버리며 혼돈 현상이 일어 나게 된다. 이 현상을 나비효과라 한다. 즉, 북경에서의 나비 한 마리의 날개의 팔랑거림 이 반대편의 뉴욕에서 폭풍을 일으킬 수도 있다는 것이다. 혼돈 현상 중 특히 기이한 끌개의 이해를 위해서는 계의 운동을 시각적으로 표현하는 것이 매우 중요하다. 이러한 점에서 컴퓨터 기술의 급속한 발전은, 혼돈 이론을 포괄적으로 성 장시키는 데 크게 기여하였다. 컴퓨터를 통해서 헤논계 등을 비롯한 여러 계에서 기이한 끌개들이 발견되고 있다. 시계추는 혼돈 현상을 보이는 간단한 모델이다. 일반적으로 두 시계가 있을 경우, 이들 시 계는 진동 운동 주기의 미세한 차이로 오랜 시간이 지나면 각 시계의 운동이 전혀 상관 관 계가 없어진다. 그러나 18세기에 호이겐스( Huygens)는, 두 시계가 같은 벽에 걸려 있는 경우, 서로 오랜 시간 똑같이 움직인다는 것을 발견하였다. 이 현상을 공명 또는 주기 맞물 림이라고 하는데, 이는 두 시계의 벽을 통한 상호 작용의 결과이다. 병아리의 심장 세포 덩어리의 각 세포에서 나오는 전기 신호도 상호 작용에 의해 주기 맞물림 현상을 보인다. 그네의 경우는, 아무런 힘을 가하지 않으면 그 운동은 간단한 주기를 가진 진동으로 나타 난다. 그러나 그네를 주기적으로 밀어주면, 그네의 본래 주기와 흔들어 주는 힘의 주기의 비에 따라 놀랍게도 아주 다양하고 복잡한 진동이 나타나게 된다. 만약 이 두 주기의 비가 유리수(예 2 / 3)로 주어지면 그네의 운동이 주기적 맞물림 상태에 있게 되고, 무리수(예 2 )이면 주기가 없는 운동을 하게 된다. 정수론에 의하면 유리수와 무리수의 개수가 무한이 므로 흔들림 운동의 가짓수도 무한이 된다. 또한 유리수와 무리수로 서로 복잡하게 얽혀 있 으므로 외부의 힘의 주기와 크기를 바꿈에 따라 매우 복잡한 운동의 변화를 보게 된다. 그 네를 흔드는 힘의 크기가 아주 커지면 다양한 혼돈 현상이 일어나게 되는데, 진동자의 주기 가 상호 작용하여 혼돈으로 전이하는 것은 많은 자연 현상에서 공통적으로 볼 수 있는 현상 이다.


에너지의 소진이 없을 때는, 두 진동자의 주기가 서로 상호 작용할 때 진동의 폭이 점점 커 져 무한대로 발산하는 공명 현상이 일어난다. 태양계의 몇몇 행성들의 공전 주기가 거의 공명 관계를 이룬다는 것이 천체 관측에 의해 밝혀졌는데, 이 공명의 누적된 영향을 계산 하면, 우리가 살고 있는 태양계가 과연 안정할까에 대한 해답을 얻을 수 있을 것으로 기대 된다. 프랙탈( fractal )이란 말은 라틴어 fractus (부서진 상태를 뜻함)에서 유래되었는데, 1975년 만델브로트( Mandelbrot )가 수학 및 자연계의 비정규적 패턴에 대한 체계적 고찰을 담은 자신의 에세이에 표제를 주기 위해서 만들었다. 간단하게 말하면 프랙탈은, 미분이 가능하 며 정규적 모양을 지닌 유클리드 기하체와는 달리, 비규칙적으로 갈라진 구조를 가진다. 그 부분을 확대하면 전체의 모습과 비슷한 구조가 다시 나타난다. 이것을 자기 유사성이라 한 다. 프랙탈은 분자부터 천문학적 단위까지 모든 척도의 자연계의 현상에서 나타난다. 그 예 를 들면, 해안선 및 지표면의 구조, 번개의 궤적, 눈의 결정 모양, 전기의 방전 현상, 주식 시장의 블규칙적 등락을 나타내는 곡선, 유체의 난류 현상(turbulence), 우주 은하계의 분 포 등이다.


1960년대 초 만델브로트가 비정규적 패턴에 대한 체계적 연구를 시작하기 전까지는, 몇몇 의 수학자에 의해 칸토르 집합, 평면을 채우는 페아노 곡선 등이 극히 예외적인 집합 또는 수학적 괴물들로 다루어졌다. 그러나 만델브로트의 선구자적 연구에 이어, 많은 사람들의 연구와 급속하게 발달하는 컴퓨터의 그래픽스를 이용한 프랙탈의 매혹적인 시각적 표현으 로, 최근 과학자뿐 아니라 일반 대중에게까지 프랙탈에 대한 관심이 높아지고 있다. 이제 프 랙탈은 빼놓을 수 없는, 자연스럽고도 기하학적 아름다움을 지닌 집합으로 받아들여지고 있 다. 혼돈과 프랙탈은 밀접한 관계를 가지고 있다. 예를 들어 혼돈 현상의 이면에 있는 기이한 끌개들은 아주 이상한 기하학적 구조를 가진다. 헤논 끌개를 자세히 보면 수많은 가지들로 이루어진 복잡한 구조를 하고 있음을 알 수 있다. 이 끌개의 한 부분을 적당한 배율로 확대 해 보면, 그 전체의 모습이 프랙탈과 유사하다는 것을 발견하게 된다. 존 반슬리(J. Barnsley)의 혼돈 게임을 예로 들어보자. 1. 평면상에 3개의 점 A, B, C를 연필로 찍는다. 2. 다시 평면상의 1점을 아무렇게나 골라 찍고 이를 Z0라 부르자. 3. 3점 A, B, C중 하나를 무작위로 골라 그 점과 Z0 의 중간 지점을 찍는다. 4. 세 번째 스텝을 20000번 반복한다. 5. 처음 10개의 점을 지운다. 놀랍게도 이 게임은 그 혼돈성에도 불구하고 복잡하나 규칙 적 구조를 가지는 시어핀스키 ( Sierpinski) 삼각형이라 불리는 프랙탈을 만들어 낸다. Basic 언어로 프로그램을 짜면 다음과 같다.


만델브로트가 프랙탈의 예로 든 해안선의 경우를 살펴보자. 우리 나라의 남서 해안선은 리 아스식 해안으로 매우 복잡하다. 이 복잡한 구조도 프랙탈로 기술된다는 것이 최근의 연구 에서 밝혀졌다. 해안선의 길이를 재려면 우선 재는 자의 길이가 주어져야 한다. 자의 길이 가 작아짐에 따라 점점 더 작은 크기의 만과 반도를 따라가며 재야 하기 때문에, 해안선의 길이가 무한대로 발산하게 된다. 그러나 프랙탈 차원으로 길이가 발산하는 빠르기를 기술할 수 있는데, 이 값이 크면 클수록 해안선이 더 복잡하다. 계산된 우리 나라 남서 해안선의 프 랙탈 차원은 1.3 정도이다. 이는 영국 서부 해안과 비슷한 복잡성을 가지며, 노르웨이의 피 오르드 해안보다는 덜 복잡한 중간 정도치 프랙탈이라는 것을 말해 준다. 프랙탈 덩어리의 성장을 기술하는 모델 중에 DLA 모델이라는 것이 있다. 이것은 눈의 결정 이 만들어지는 것처럼 어떤 씨앗으로부터 복잡한 구조의 덩어리가 자라는 것을 기술하는 아 주 간단한 모델이다. 컴퓨터 화상 표시 장치의 중간에 1개의 흰 점을 찍는다. 이 화소를 둘 러싸는 큰 원상의 한 점에서 입자를 놓아 이것이 무질서하게 돌아다니게 한다. 입자가 기존 화소를 만나면 그 위치에 해당하는 화소에 다시 흰 점을 찍는다. 이를 계속 반복하면 횐 화 소들의 덩어리가 프랙탈 모양으로 자라나는 것을 몰 수 있다. 이 DLA모델은 점성이 큰 유 체가 점성이 작은 유체를 밀어 낼 때 그 경계의 구조가 프랙탈이 될 수 있다는 것을 설명한 다. 또한 이 문제는 물로 석유를 밀어내어 석유를 추출하는 문제와 직결되는데, 프랙탈 현 상 때문에 대부분의 석유가 땅에 남게 됨을 알 수 있다.


프랙탈은 전혀 예기치 못한 곳에서도 나타난다. 아주 간단한 수학적 변환도 반복해서 하면 프랙탈 구조를 만들 수 있다. 예를 들면 복소 평면에서의 간단한 변환을 요구하면 그 안에 무한히 많은 프랙탈 도깨비들이 숨어 있다는 것을 발견하게 된다. 복소 공간상의 한 점 Z를 평면의 X, Y좌표에 의해 표시하고 이를 Z=X+Yi라고 쓰자. 여기서 i는 - 1의 제곱근을 나 타낸다. 초기값을 Z0라고 주어졌을 때. Z=Zn+1 + C의 복소 변환을 생각하자 변수 C=C1+C2i를 고정시키고 초기값Zo를 변환시켰을 때, 줄리아 집합은 그 수열 Zo, Z1, Z2, Z3, . . .가 발산하지 않는 초기값의 집합의 가장자리 점들로 주어진다. 만델브로트 집합은 변수 C값들 중에서 줄리아 집합이 연결된 값들의 모임으로, 줄리아 집합 보다 더욱 복잡한 자기 유사성 구조를 지닌 개구리 모양의 프랙탈을 나타낸다. 만델브로트 집합의 여러 부분을 확대하면 아주 다양한 패턴이 나오는데, 이들 속에 다시 조그마한 만 델브로트 집합이 들어 있는 자기 유사성 구조가 보인다. 일본의 수학자인 시시쿠라는 작년 에, 만델브로트 집합의 경계가 곡선이지만 2차원 면적의 차원과 같다는 것을 증명하였다. 이는 만델브로트 집합의 경계가 상상할 수 있는 어떤 곡선보다도 더 굴곡이 심한 곡선이라는 것을 나타낸다.


과학자들은 만델브로트 집합은 너무나 복잡하여 이를 완전히 정확하게 그리는 것은 불가능 할 것이라고 생각하고 있다. 그러나 사진에서 보듯 만델브로트 집합 속에는 무한히 많은 다양한 이미지들이 내포되어 있어서, 이들을 찾아내고 색깔을 칠하는 작업은 아주 흥미 있는 일이다. 만델브로트 프랙탈은 그 학문적 가치도 중요하지만 특히 그 기하학적인 아름다움이 너무나 매혹적이다. 이제 컴퓨터는 정보와 통신의 매개체로서의 본래의 역할뿐만 아니라, 컴퓨터 화상을 통한 예술까지 그 영역을 넓혀가고 있다. 만델브로트 집합은 초기값을 O으로부터 시작하여 이차 복소 변환 Zn+1 =Zn2+C를 계속 반복할 때 그 수열이 발산하지 않게 되는 C값들의 집합과도 같다. 이를 이용하면 만델브로트 프랙탈은 그 무한한 복잡성에도 불구하고 퍼스널 컴퓨터(PC) 에서 단 20줄 정도의 프로그램으로도 그려 낼 수 있기 때문에, 지금도 호기심 많은 수많은 아마추어 탐험가들이 이 복 소 평면상의 프랙탈 세계를 탐구하고 있다. 만델브로트 집합을 그리는 법 1. 정사각형을 300 x 300 격자로 나누어 그 격자 점들을 -2와 2사이에 균일하게 분포된 C1 C2 값과 대응시킨다. 2. 각 C=C1+C2 i 값에 대하여 초기값 0으로부터 시작하여 이차 변환을 반복하며, 30번만 에 원점을 중심으로 한 반지름 2인 원을 떠나는지 체크한다. 3. (흑백의 경우) 떠난다면 검은 색으로 칠하고 그렇지 않다면 흰색으로 칠한다. 만델브로트 집합은 이 경우 희게 나타난다.



일반적으로 프랙탈은 복소계 뿐만 아니라 통계 물리의 모델 등 다양한 계에서 관찰된다. 예를 들어 19세기 초경 케일리(A. Ccayley )는 뉴턴의 어떤 2차 함수의 근을 구하는 수치적 방법인 Newton 방법이란, 간단한 변환을 반복적으로 적용했을 때 두 근 중 초기값에 가까운 근으로 수렴하는 것을 보였다. 그러나 이 무미 건조해 보이는 문제에서도 3 차함수의 경우 그 답이 쉽지 않다. 초기값을 바꾸어 가면서 뉴턴 방법을 반복할 때 3개의 근 중 어느 것에 수렴하는가에 따라 색깔을 다르게 주면 이들의 경계가 프랙탈로 나온다. 결정론 혼돈이라는 혁명적 개념에 의해, 환원론적 질서 현상 연구의 틀에서 이제 혼돈이 해방되어, 많은 과학자가 새로운 관점에서 자연을 연구하고 있다. 또한 순수 수학에서의 하나의 개념으로 출발한 프랙탈은 이제 자연의 복잡한 패턴의 기술에서 빼놓을 수 없는 상태가 되었다. 커피를 민들 때 커피와 프림의 섞임은 혼돈에 의해 지배되고, 이는 화산암에서의 마그마의 섞임, 화학 반응로에서의 반응의 효율성 제고 등의 문제로 관련되고 있다. DLA 모델은 석유를 물로 밀어내어 추출하는 것의 효율성 문제와 관련이 있어 석유 회사 등에서 많이 연구 하고 있다. 프랙탈 이론을 이용하면 이 세상에 존재하지 않는 3차원 지형을 컴퓨터 화상으로 그려낼 수 있다. 또한 몇십 줄의 프로그램으로 자기 유사성을 지닌 나무들이 울창하게 자라는 숲을 사진의 정확성에 필적할 정도로 그려내기도 하고, 복잡한 자연의 이미지의 정보를 축소하여 컴퓨터에 저장할 수 있기도 하다. 혼돈과 프랙탈의 개념이 한 번 받아들여지면 자연계의 버림받았던 부분들을 이해하게 되고. 이들을 서로 얽어매는 유기적 전체의 원리가 생각하게 되어 세상은 새롭게 보일 것이다. 일기 오보에도 TV의 기상예보관을 탓하기에 앞서 기단의 난류성을 떠올리게 되고, 산, 나무, 구름, 눈의 결정들을 보며 그 모양의 프랙탈 성질을 떠올리게 될 것이다. 결정론적 혼돈을 이해하면 신의 우주 방정식을 훔쳐낸다 하더라도 유한성 때문에 자신의 운명을 예측할 수 없다는 것을 알게 된다. 그리고 자연 속에서 혼돈과 질서 또한 부분과 전체가 배척되지 않고 아름답게 공존하는 모습이 보이게 된다.

우주에 관련된 프랙탈 이론은 담의 사이트에서 자세히 언급되고 있습니다.

http://fractalcosmology.com/korean/frame1.htm

 

프랙탈 이론이란 수학 이론이 있다.

자연계의 큰모습이 자연계의 작은모습과 동일한 구조의 확장일뿐이라는 수학적 이론이다. 여러가지 실례를 들어가며 이론을 말했다.

정말  그것을 보면서 이자연계는 신비하구나 어떤 큰힘이 작용하는것 같았다.

정말 매력적인 학문이였다. 그동안 살아오며 조금 그런점을 느꼈는데 나말구두 그런 이론이 있다는걸 첨 알았다.

이 이론을 보며 정말 신이 존재하고 그법칙에서 모든 세상이 돌아간다는 느낌이 들었다.

난 새로운 물리학 이론만 보면 정말 기분이 좋아진다. 내가 가장 좋아하는 학문이 물리학이기 때문이다.

우연히 형이 틀은 텔레비젼에서 봤지만 이것도 우연이 아닌것 같다.

다시 태어난다면 물리학자가 되고 싶다. 지금 당장은 이렇지만...

집안에 유명한 물리학자가 쓴 책들이 많다. 수학실력이 모자라서 이해도 할수 없지만 마치 애장품을 보과하듯 사서 쌓아두었다.

수학과 물리학 정말 매력적인 학문이다.

이 이론을 정치에 적용한다면 국민의 가장작은 단위인 개인이 건강해야 사회가 건강해진다는것이다